Переписать в Ворд

Нужно переписать с картинок в Ворд. Получается две кр Теория множеств и Матлог. По контрольной с множествами:1. Построим биекцию между множеством всех таких рядов и декартовым произведением Q (множества рац. чисел) на себя счётное число раз, сопоставив ряд sum_n a_n x^n последовательности (a_n)_n. Ясно, что |Q^N| = |N^N|, т.к. Q счётно (где N множество нат. чисел, A^B — множество функций из B в A). Теперь имеем неравенства

|N^N| <= |(2^N)^N| = |2^(N ? N)| = |2^N| = c

и

|N^N| >= |2^N| = c,

так что по теореме Кантора — Бернштейна ответ — континуум.

2. Построим биекцию, сохраняющую порядок, из левой части в правую. Элементы (n, x) in omega ? 2 отправим в (n, x) in omega ? 3 (где in — значок принадлежности), а элементы из второго слагаемого n in omega отправим в (n, 2) in omega ? 3. То, что это биекция, очевидно. Она сохраняет порядок на элементах каждого слагаемого по отдельности, и все элементы первого слагаемого переходят в элементы, меньшие всех образов элементов второго слагаемого, так что биекция сохраняет порядок.3. Используем лемму Цорна. Пусть X наше упорядоченное множество, C цепь. Возьмём множество всех цепей в X, содержащих C, обозначим это множество через M. В нём порядок получается из отношения включения цепей. Нам нужен максимальный элемент в M, по условию. Лемма Цорна говорит, что такой элемент существует, если любая непустая цепь в M имеет верхнюю грань (тут ещё важно, что M непусто, оно содержит C).

Итак, пусть L непустая цепь в M, это семейство цепей в X, любые два из которых связаны отношением включения. Возьмём объединение всех элементов L, обозначим его D. Это подмножество X, содержащее все элементы L, так что остаётся проверить, что D цепь. Пусть a, b in D. По определению, найдутся A, B in L такие, что a in A, b in B. Т.к. L цепь, то, не умаляя общности, A подмножество B. Следовательно, a, b in B. Так как B цепь, то a <= b или b <= a. И так для всех a, b in D, то есть D — это цепь.