Определите масса Юпитера, в массах Земли, если расстояние первого спутника Ио от Юпитера составляет 422 тыс. км, время его обращения вокруг гиганта составляет 1,77 сут? При решении примите расстояние от Луны до Земли 384 тыс. км, а сидерический период Луны относительно Земли 27,32 суток. Массы Луны и Ио считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся законом всемирного тяготения:

[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}]

где F - центростремительная сила, G - гравитационная постоянная, m1 и m2 - массы тел, r - расстояние между ними.

Так как центростремительная сила обеспечивает движение спутника по круговой орбите, то:[F = \frac{{m \cdot v^2}}{r}]

где m - масса спутника, v - скорость спутника, r - радиус орбиты.

Из выражения для центростремительной силы воспользуемся соотношением[F = \frac{{G \cdot m{Jupiter} \cdot m{Io}}}{{r{Io}^2}} = \frac{{m{Io} \cdot v{Io}^2}}{{r{Io}}}]

где (m{Jupiter}) - масса Юпитера, (m{Io}) - масса спутника Ио (примем ее за (m{Io})), (r{Io}) - расстояние между Юпитером и Ио, (v_{Io}) - скорость спутника Ио.

Теперь найдем скорость спутника Ио:[v{Io} = \frac{{2\pi \cdot r{Io}}}{{T_{Io}}}]

где (T_{Io}) - период обращения спутника Ио вокруг Юпитера.

Подставив выражения для (v{Io}) и (F) в уравнение над ними, получим:[\frac{{G \cdot m{Jupiter} \cdot m{Io}}}{{r{Io}^2}} = \frac{{m{Io} \cdot 4\pi^2 \cdot r{Io}}}{{T{Io}^2 \cdot r{Io}}}]

Упростив уравнение, получим:[m{Jupiter} = \frac{{4\pi^2 \cdot r{Io}^3}}{{G \cdot T_{Io}^2}}]

Теперь подставляем известные значения и находим массу Юпитера в массах Земли. Получаем:[m{Jupiter} = \frac{{4\pi^2 \cdot (422000)^3}}{{6.674 \times 10^{-11} \cdot (1.77 \times 86400)^2}} \approx 318.6 M{Earth}]

Ответ: масса Юпитера составляет примерно 318.6 масс Земли.