Автоматическая мойка может принять на обслуживание одновременно 3 автомашины. В среднем машины прибывают через 2 мин, а средняя продолжительность мойки – 15 мин. В очереди могут находиться не более 4 машин. Определить вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина, и загруженность одной установки для мойки машин.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения вероятности того, что в системе находится хотя бы одна машина, можно воспользоваться методом обратной вероятности. Вероятность отсутствия машин в системе будет равна вероятности того, что в очереди находится 0 машин, умноженной на вероятность того, что все три установки свободны:

P(отсутствие машин) = P(очередь = 0) P(установки свободны) = (1 - p(очередь <= 1)) (1 - p(очередь >= 3)) = (1 - p(очередь = 1) - p(очередь = 2)) * (1 - p(очередь = 3))

Вероятность того, что в очереди находится 0 машин, равна вероятности того, что в системе находится от 0 до 3 машин. Для определения этой вероятности можно воспользоваться формулой Пуассона:

P(0 машин в очереди) = e^(-\lambda) (\lambda)^0 / 0! + e^(-\lambda) (\lambda)^1 / 1! + e^(-\lambda) (\lambda)^2 / 2! + e^(-\lambda) (\lambda)^3 / 3!

где λ - параметр распределения Пуассона, равный среднему числу прибывающих машин за время t, а в данном случае t = 2 мин.

С учетом данной информации можно рассчитать вероятность отсутствия машин в системе.

Далее, находим вероятность, что хотя бы одна машина находится в системе:
P(хотя бы одна машина) = 1 - P(отсутствие машин)

Для определения загруженности установки для мойки машин можно использовать следующую формулу:

Загруженность = (среднее число машин в системе) / (количество установок)

Сначала определим среднее число машин в системе. Для этого найдем долю времени, когда установка для мойки машин занята, и долю времени, когда она свободна. Время, в течение которого установка занята, равно продолжительности мойки, а время, в течение которого она свободна, равно среднему времени до прибытия следующей машины. Затем выразим среднее число машин в системе через эти доли.

После этого можем подставить полученное среднее число машин в системе и количество установок в формулу для нахождения загруженности установки.