Тонкий обруч раскрутили до угловой скорости ω и плашмя Положили на стол. Коэффициент трения между обручем и столом равен μ.
Через время t обруч остановился. Определить его радиус.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить радиус обруча, можно воспользоваться законом сохранения энергии.

Изначально у обруча была только кинетическая энергия вращения:

(E_{\text{нач}} = \frac{I \omega^2}{2}),

где I - момент инерции обруча относительно его оси вращения.

В конечный момент времени у обруча кинетическая энергия вращения равна работе силы трения, совершенной за время t:

(E_{\text{кон}} = \frac{I \cdot 0}{2} = \mu m g r \cdot 2 \pi r),

где m - масса обруча, g - ускорение свободного падения, r - радиус обруча.

Из закона сохранения энергии:

(E{\text{нач}} = E{\text{кон}}),

(\frac{I \omega^2}{2} = \mu m g r \cdot 2 \pi r).

Так как момент инерции обруча равен (I = \frac{m r^2}{2}), то

(\frac{\frac{m r^2}{2} \omega^2}{2} = \mu m g r \cdot 2 \pi r),

(\frac{m r^2 \omega^2}{4} = 2 \mu m g \pi r^2),

(\omega^2 = 8 \mu g \pi r).

Так как (\omega = \frac{v}{r}), где v - линейная скорость обруча, то можно переписать уравнение:

(\left(\frac{v}{r}\right)^2 = 8 \mu g \pi r),

(v^2 = 8 \mu g \pi r^2).

Обруч двигался до полной остановки, поэтому его начальная скорость равна (v = \omega r), тогда

(v = \sqrt{8 \mu g \pi r^2} \cdot r),

(\omega r = \sqrt{8 \mu g \pi r^2} \cdot r),

(\omega = \sqrt{8 \mu g \pi r}).

Подставляя значение (\omega) в выражение для кинетической энергии обруча в начальный момент времени: (E_{\text{нач}} = \frac{I \omega^2}{2}),

(\frac{m r^2 \cdot 8 \mu g \pi r}{2} = \mu m g r \cdot 2 \pi r),

(4 r \pi = 2 \pi r),

(r = \frac{1}{2}).

Таким образом, радиус обруча равен половине его ширины.