Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости v по закону w = а*sqrt(v), где а — положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна v0. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения в дифференциальной форме:

dv/dt = w/m,

где v - скорость точки, t - время, w - ускорение, m - масса точки.

Учитывая, что w = a*sqrt(v), то получаем дифференциальное уравнение:

dv/dt = a*sqrt(v)/m.

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:

∫v^(-1/2) dv = a/m ∫dt.

Получим:

2sqrt(v) = (2a/m)t + C,

где C - постоянная интегрирования.

Из начальных условий известно, что v(v0) = v0, следовательно, в момент времени t = 0 скорость равна v0, то есть C = 2*sqrt(v0).

Теперь найдем время t_stop, когда скорость станет равна 0:

0 = (2a/m)t_stop + 2sqrt(v0).

Отсюда:

t_stop = -2sqrt(v0) m / 2a = -sqrt(v0)*m/a.

Используя найденное значение t_stop, найдем путь, пройденный точкой до остановки (S):

S = ∫v(t) dt ||_{0}^{t_stop} = 2/3 a t_stop^(3/2).

Подставив значение t_stop, получаем:

S = 2/3 a (-sqrt(v0)m/a)^(3/2) = 2/3 a (-m)^3 v0^(3/2) / a^(3/2).

Сокращая a и упрощая выражение, получаем:

S = 2/3 (-m)^(3/2) v0^(3/2).

Таким образом, точка пройдет путь S = 2/3 (-m)^(3/2) v0^(3/2) до остановки за время t_stop = -sqrt(v0)*m/a.