Маленькая шайба находится на горизонтальной поверхности стола, состоящей из двух панелей: гладкой и шероховатой. Коэффициент трения между шайбой и шероховатой панелью возрастает по мере удаления от стыка панелей по линейному закону μ(x)=αx, где α=const, а координатная ось Ox направлена перпендикулярно стыку панелей. Шайба скользит по гладкой панели параллельно оси Ox и в некоторый момент времени попадает на шероховатую панель. Какое расстояние x0 пройдет по шероховатой панели шайба до полной остановки, если ее скорость на гладкой панели равна v0? Ускорение свободного падения g.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того, чтобы найти расстояние x0, пройденное шайбой по шероховатой панели до полной остановки, нужно рассмотреть движение шайбы на шероховатой панели.

Сила трения, действующая на шайбу при движении по шероховатой панели, равна μ(x)mg, где m - масса шайбы, g - ускорение свободного падения. Таким образом, уравнение второго закона Ньютона для шайбы на шероховатой панели будет иметь вид:

ma = μ(x)mg - mg,

где a - ускорение шайбы на шероховатой панели.

Подставляя выражение для коэффициента трения μ(x)=αx, получаем:

ma = αxmg - mg.

Ускорение a можно выразить как производную от скорости v по времени t:

a = dv/dt.

Таким образом, уравнение примет вид:

m(dv/dt) = αxmg - mg.

Известно, что на гладкой панели скорость шайбы равна v0, поэтому при t=0 скорость v=v0.

Решая это дифференциальное уравнение с начальным условием v(0) = v0, можно найти зависимость скорости шайбы от времени на шероховатой панели. Затем найдем время t0, за которое шайба остановится и выразим расстояние x0, пройденное шайбой по шероховатой панели до полной остановки:

x0 = ∫[0, t0] v(t) dt.