Ракета массой m=10 т пущена с Земли под углом a=45° к горизонту с начальной скоростью v0=10 км/с. Найти: а) полную энергию ракеты и ее момент импульса относительно центра Земли; б) скорость ракеты на расстоянии равном 2R от поверхности Земли. Радиус Земли R=6400 км, ускорение силы тяжести на поверхности Земли g=10 м/с2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала найдем кинетическую энергию ракеты при запуске:
Ek = 0.5 m v0^2 = 0.5 10^7 кг (10 10^3 м/с)^2 = 5 10^11 Дж

Теперь найдем потенциальную энергию ракеты на высоте h=2R от поверхности Земли:
Ep = - G M m / R
где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса ракеты, R - радиус Земли.
Ep = - (6.67 10^-11 м^3 / (кг с^2)) (5.97 10^24 кг) (10^7 кг) / (6400 10^3 м) = -4 * 10^11 Дж

Итак, полная энергия ракеты:
E = Ek + Ep = 5 10^11 Дж - 4 10^11 Дж = 10^11 Дж

Момент импульса ракеты относительно центра Земли:
L = m v0 R sin(a) = 10^7 кг 10 10^3 м/с 6400 10^3 м sin(45°) = 8 10^14 кг м/с

б) На расстоянии 2R от поверхности Земли потенциальная энергия ракеты равна:
Ep' = - G M m / 2R = -4 * 10^11 Дж

Используя закон сохранения энергии, найдем скорость ракеты на данной высоте:
E' = Ek' + Ep'
где Ek' - кинетическая энергия ракеты на высоте 2R.
Ek' = 0.5 m v'^2
где v' - скорость ракеты на высоте 2R.
Таким образом, E' = 0.5 10^7 кг (v'^2) + (-4 * 10^11 Дж)

Решая уравнение, найдем скорость ракеты на расстоянии 2R от поверхности Земли:
v' = sqrt((2 (E' + 4 10^11 Дж)) / m) = sqrt((2 (0.5 10^11 Дж)) / 10^7 кг) = sqrt(10^4) = 100 м/с

Таким образом, скорость ракеты на расстоянии 2R от поверхности Земли равна 100 м/с.