В поле заряженной сферы радиусом 10 см вдоль силовой линии двигается электрон. Скорость электрона на расстоянии 12 см от центра сферы равна 2*10^5 м/с, а расстоянии 15 см скорость электрона равна 2*10^6 м/с. Найти поверхностную плотность заряда сферы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся уравнением для электростатического потенциала:
[V = k \cdot \frac{Q}{r},]
где (V) - потенциал, (k) - постоянная Кулона, (Q) - заряд сферы, (r) - расстояние от центра сферы до точки.

Также мы знаем, что сила, действующая на заряд при его движении в электрическом поле, равна произведению заряда на напряженность поля:
[F = q \cdot E,]
где (F) - сила, (q) - заряд, (E) - напряженность поля.

Мы можем выразить напряженность поля через потенциал:
[E = -\frac{dV}{dr}.]

Тогда можем записать следующие уравнения:
[E(r1) = -\frac{dV}{dr}\Big|{r = r_1} = -k \cdot \frac{Q}{r_1^2},]
[E(r2) = -\frac{dV}{dr}\Big|{r = r_2} = -k \cdot \frac{Q}{r_2^2}.]

С учетом того, что сила, действующая на электрон, равна массе электрона умноженной на ускорение электрона, можем записать следующее соотношение:
[m \cdot a = q \cdot E,]
где (m) - масса электрона, (a) - ускорение электрона.

Известно, что ускорение равно производной скорости по времени:
[a = \frac{dv}{dt}.]

Теперь мы можем записать два уравнения для ускорения электрона при движении в электрическом поле:
[m \cdot \frac{dv_1}{dt} = q \cdot E(r_1),]
[m \cdot \frac{dv_2}{dt} = q \cdot E(r_2).]

Подставим выражения для напряженности поля в эти уравнения:
[m \cdot \frac{dv_1}{dt} = -k \cdot \frac{Q}{r_1^2} \cdot q,]
[m \cdot \frac{dv_2}{dt} = -k \cdot \frac{Q}{r_2^2} \cdot q.]

Теперь запишем уравнение ускорения в более удобной форме:
[\frac{dv}{dt} = -\frac{k \cdot Q}{m} \cdot \frac{1}{r^2}.]

Теперь можем найти значение поверхностной плотности заряда сферы. Известно, что заряд сферы равен произведению поверхностной плотности заряда на площадь поверхности сферы:
[Q = \sigma \cdot 4\pi R^2,]
где (\sigma) - поверхностная плотность заряда, (R) - радиус сферы.

Таким образом,
[\frac{dv}{dt} = -\frac{k \cdot \sigma \cdot 4\pi R^2}{m} \cdot \frac{1}{r^2}.]

Подставив данные о скоростях электрона в уравнение, получаем:
[\frac{2 \cdot 10^6 - 2 \cdot 10^5}{15 - 12} = -\frac{9 \cdot 10^9 \cdot \sigma \cdot 4\pi \cdot 0.1^2}{9.1 \cdot 10^{-2}}.]

Отсюда получаем значение поверхностной плотности заряда сферы:
[\sigma = \frac{3 \cdot 10^5 \cdot 9.1 \cdot 10^{-2}}{9 \cdot 10^9 \cdot 4\pi \cdot 0.1^2} \approx 1.42 \cdot 10^{-4} \, \text{Кл/м}^2.]