Найти координаты центра тяжести фигуры,ограниченной линиями y=x^2-3x и 3x+y=4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения линий y=x^2-3x и 3x+y=4.

y = x^2 - 3x
3x + y = 4

Подставляем y из первого уравнения во второе:

3x + x^2 - 3x = 4
x^2 = 4
x = ±2

Теперь найдем y для x = 2 и x = -2:

y = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2
y = (-2)^2 - 3(-2) = 4 + 6 = 10

Теперь можно найти центр тяжести фигуры. Центр тяжести определяется следующим образом:

x_c = (1/S) ∫[a,b] xf(x) dx
y_c = (1/S) * ∫[a,b] (f(x)^2)/2 dx

Где S - площадь фигуры, которая равна:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) и g(x) - уравнения границ фигуры.

Пересечение линий находятся при x=-2 и x=2. Интегралы будут браться для отрезка [-2, 2].

Теперь можно рассчитать x_c и y_c:

x_c = (1/S) ∫[-2,2] x(x^2 - 3x) dx = (1/20) ∫[-2,2] (x^4 - 3x^2) dx = (1/20) (32/5) = 1.6
y_c = (1/S) ∫[-2,2] ((x^2 - 3x)^2)/2 dx = (1/20) ∫[-2,2] ((x^4 - 6x^3 + 9x^2)/2) dx = (1/20) * (80/15) = 1.333

Таким образом, центр тяжести фигуры находится в точке (1.6, 1.333).