1) Шар радиусом R описан вокруг правильной треугольной пирамиды, боковое ребро которой образуют с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды.
2) Дан куб АВСДА1В1С1Д1, ребро которого равно 1. Точки М и К - середины ребер АД и СД соответственно. Постройте сечение этого куба, которое проходит через точки М, К и В1, и выясните, какой геометрической фигурой является это сечение (доказать). Найдите площадь сечения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Обозначим высоту пирамиды как h. Тогда радиус шара, описанного вокруг пирамиды, равен R = h/√3 (так как он является радиусом вписанной сферы в боковую грань пирамиды). Также из геометрических соображений мы можем утверждать, что h = R*√3.

Теперь давайте найдем площадь основания пирамиды. По теореме Пифагора, полудиагональ основания пирамиды равна Rcos(α), а боковая сторона пирамиды равна Rsin(α). Тогда площадь основания пирамиды равна S = 2 (Rsin(α))^2 = 2R^2 sin^2(α) = 2h^2 sin^2(α)/3.

Так как объем пирамиды равен V = (1/3) S h, мы можем подставить найденное значение площади основания и высоты пирамиды: V = (1/3) 2h^2 sin^2(α)/3 h = 2h^3 sin^2(α)/9.

Таким образом, объем пирамиды равен 2h^3 * sin^2(α)/9.

2) Сечение, проходящее через точки М, К и В1, будет являться прямоугольником. Подтвердим это следующим образом.

Пусть точка В1 имеет координаты (1,1,1), а точка М имеет координаты (0,0,1/2); и точка К имеет координаты (0,1/2,0). Тогда уравнение прямой МК задается параметрически как МК: (0,0,1/2) + t(0,1/2,-1/2), где t - параметр. Подставляя t = 1 в это уравнение, получаем точку пересечения прямой МК и грани куба А1В1С1Д1.

Таким образом, получим точку пересечения прямой МК и грани куба: (0,1/2,0), что соответствует координатам точки К. Это означает, что сечение будет прходить через вершину В1, середины ребра С1Д1 и середины ребра А1Д1.

Так как В1 имеет координаты (1,1,1), а середина ребра С1Д1 имеет координаты (1,1,1/2), а середина ребра А1Д1 имеет координаты (1,0,1). Тогда стороны прямоугольника будут равны 1 (сторона куба), 1/2 (расстояние между серединами ребер) и корень из (1/2)^2 + 1 = √5/2 (диагональ прямоугольника).

Следовательно, площадь сечения куба будет равна 1/2 * (1 + √5/2) = (1 + √5)/4.