2) В правильной треугольной призме диагональ боковой грани равна 8 дм и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найти площадь полной поверхности и объем призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь полной поверхности правильной треугольной призмы можно найти по формуле:

S = 2 * Sосн + Sбок,

где Sосн - площадь основания призмы, Sбок - площадь боковой грани призмы.

Поскольку призма правильная, то у неё все боковые грани равны между собой по площади, поэтому:

S = 2 Sосн + 3 Sбок.

Площадь основания можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника:

Sосн = a^2 * sqrt(3) / 4,

где a - длина стороны треугольника.

Так как диагональ боковой грани равна 8 дм и составляет с плоскостью основания угол 30°, можем найти длину стороны треугольника:

a = 8 sin(30°) = 8 0.5 = 4 дм.

Теперь можем найти Sосн:

Sосн = 4^2 sqrt(3) / 4 = 4 sqrt(3) дм^2.

Также из условия задачи уже известно, что длина диагонали боковой грани равна 8 дм, а угол между диагональю и плоскостью основания равен 30°. Тогда одна сторона боковой грани равна 8 / cos(30°) = 8 / sqrt(3) = 8 * sqrt(3) / 3 дм.

Таким образом, Sбок = 4 8 sqrt(3) / 3 = 32 * sqrt(3) дм^2.

Итак, S = 2 4 sqrt(3) + 3 32 sqrt(3) = 8 sqrt(3) + 96 sqrt(3) = 104 * sqrt(3) дм^2.

Объем призмы можно найти по формуле для объема правильной треугольной призмы:

V = Sосн * h,

где h - высота призмы.

Так как треугольная призма, то её высота равна длине боковой грани * sin(30°):

h = 8 sqrt(3) / 3 sin(30°) = 8 sqrt(3) / 6 = 4 sqrt(3) дм.

Итак, V = 4 sqrt(3) 4 sqrt(3) = 16 3 = 48 дм^3.

Итак, площадь полной поверхности этой призмы равна 104 * sqrt(3) дм^2, а объем равен 48 дм^3.