Дан треугольник ABC площади 27 см2; M - точка пересечения его медиан. Прямая, проходящая через точку A и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке K, а прямую CM в точке N. Прямые CN и AB пересекаются в точке L. Найдите площадь треугольника MLK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длины сторон треугольника ABC через a, b и c, а высоту, проведенную к стороне AB, через h.

Так как точка M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то она делит медианы в отношении 2:1. Значит, AM = 2/3 h, BM = 1/3 h, CM = 1/3 * h.

Поскольку AM параллельна BC, то треугольники ABK и CMB подобны, и поэтому
AK/AB = BM/CM,
AK/(a - AK) = (1/3 h)/(1/3 h) = 1,
AK = a/2.

Таким образом, AK = BK = a/2, а MB = MC = h/3. Значит, треугольник KLM также является равнобедренным, так как AK = BK и KM = LM.

Таким образом, площадь треугольника MLK равна 1/2 KL KM = 1/2 (h - 2/3 h) (h/3) = 1/6 h^2.

Так как площадь треугольника ABC равна 27 см^2, то 1/2 a h = 27, откуда h = 54/a. Подставив это значение в формулу площади треугольника MLK, получим:

S = 1/6 * (54/a)^2 = 1458/a^2.

Ответ: площадь треугольника MLK равна 1458/a^2, где a - длина стороны треугольника ABC.