Объём полого шара равен [tex]156\pi[/tex] а толщина стенки 3. Найдите внешний радиус шара.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим внутренний радиус шара как [tex]r_1[/tex], а внешний радиус как [tex]r_2[/tex]. Тогда объем полого шара равен:

[tex]V = \frac{4}{3}\pi r_2^3 - \frac{4}{3}\pi r_1^3 = 156\pi[/tex]

Так как толщина стенки равна 3, то:

[tex]r_2 = r_1 + 3[/tex]

Подставляем это в уравнение объема:

[tex]\frac{4}{3}\pi (r_1 + 3)^3 - \frac{4}{3}\pi r_1^3 = 156\pi[/tex]

Раскрываем скобки:

[tex]\frac{4}{3}\pi (r_1^3 + 9r_1^2 + 27r_1 + 27) - \frac{4}{3}\pi r_1^3 = 156\pi[/tex]

Упрощаем уравнение:

[tex]\frac{4}{3}\pi \cdot 9r_1^2 + \frac{4}{3} \pi \cdot 27r_1 + \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 156\pi[/tex]

При сокращении коэффициента [tex]\pi[/tex] обеих сторон получаем:

[tex]36r_1^2 + 36r_1 + 36 = 468[/tex]

Далее сократим на 36:

[tex]r_1^2 + r_1 + 1 = 13[/tex]

И основной ответ:

[tex]r_1^2 + r_1 - 12 = 0[/tex]

Решая квадратное уравнение, найдем:

[tex]r_1 = 3[/tex] (так как радиус не может быть отрицательным)

Тогда внешний радиус:

[tex]r_2 = 3 + 3 = 6[/tex]

Поэтому внешний радиус шара равен 6.