Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси Ox фигуры ограниченной линиями y=-x^2+3, y=2, y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox, необходимо воспользоваться методом цилиндров.

Сначала найдем точки пересечения кривых y=-x^2+3 и y=2:
-x^2+3 = 2,
-x^2 = -1,
x^2 = 1,
x = ±1.

Теперь найдем объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси Ox. Возьмем произвольный элемент длиной dx и радиусом y, который равен расстоянию до оси вращения.

Тогда элементарный объем dV можно найти по формуле:
dV = πy^2dx.

Таким образом, объем тела можно найти интегрированием выражения для dV от x=-1 до x=1:
V = ∫[from -1 to 1] π(2^2 - (-x^2+3)^2)dx.

Вычислим данный интеграл:
V = π ∫[from -1 to 1] (4 - (x^2 - 3)^2)dx,
V = π ∫[from -1 to 1] (4 - x^4 + 6x^2 - 9)dx,
V = π (4x - x^5/5 + 2x^3 - 9x) [from -1 to 1],
V = π ((4 - 1/5 + 2 - 9) - (-4 + 1/5 - 2 + 9)),
V = π (4 - 1/5 + 2 - 9 + 4 - 1/5 + 2 - 9),
V = π (8 + 8),
V = 16π.

Итак, объем тела, образованного вращением данной фигуры вокруг оси Ox, равен 16π единиц^3.