В прямоугольном треугольнике ABC из вершины C прямого угла проведены медиана CM, биссектриса CK и высота CH. а) Докажите, что CK - биссектриса угла HCM. б) Зная, что HK = 1 и KM = 2 найдите величину угла A в градусах, длину биссектрисы CK и значение tg A.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Так как CH - высота, то угол CHM прямой. Также угол HCK = угол KCM, так как CK - биссектриса угла HCM. Значит, треугольник HCK равнобедренный, а следовательно, угол CKH = угол CKM. Но тогда угол CKH = угол CKM = угол HCM, что и требовалось доказать.

б) Так как треугольник HCK равнобедренный, то CK = CH = 1, а KM = 2. Пусть угол A = x. Тогда в треугольнике ABC синус угла A равен CH/AC = 1/√5, а косинус угла A равен KM/AC = 2/√5. Отсюда получаем, что tg A = sin A/cos A = 1/2, а угол A = 30 градусов. Также, воспользовавшись теоремой косинусов в треугольнике ABC, найдем AC: AC^2 = (AB^2 + BC^2) - 2ABBCcos A = 9 + 3 = 12, следовательно AC = √12 = 2√3. И наконец, воспользовавшись теоремой синусов для треугольника ABC, найдем длину биссектрисы: CK/sin A = AC/sin C, отсюда CK = ACsin A/sin C = 2√3 *(1/2)/(√5/2) = √3.