Про треугольник ABC известно, что ∠A=46∘, ∠B=55∘. Точки P и Q внутри треугольника ABC изогонально сопряжены. Известно, что ∠APB=120∘. Найдите ∠AQB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия изогональной сопряженности следует, что углы APB и CQB смежны. Таким образом, ∠CQB = 120°.

Теперь найдем ∠AQC. Из теоремы синусов для треугольника AQC:

sin ∠AQC / AQ = sin ∠ACQ / AC

sin ∠AQC / AQ = sin 55° / AC

sin ∠AQC = AQ * sin 55° / AC

Аналогично, для треугольника AQB:

sin ∠AQB / AQ = sin ∠ABQ / AB

sin ∠AQB / AQ = sin 46° / AB

sin ∠AQB = AQ * sin 46° / AB

Так как изогональные сопряженные углы равны, то ∠AQC + ∠AQB = 180°

AQ sin 55° / AC + AQ sin 46° / AB = 1

AQ (sin 55° / AC + sin 46° / AB) = 1

AQ = (AC AB) / (sin 55° AB + sin 46° * AC)

Подставляем известные значения и находим AQ.

Теперь, из теоремы синусов для треугольника AQB получаем:

sin ∠AQB / AQ = sin ∠QAB / AB

sin ∠AQB / AQ = sin (180° - 46° - 55°) / AB

sin ∠AQB = AQ * sin 79° / AB

Подставляем найденное ранее значение AQ и находим ∠AQB:

sin ∠AQB = ((AC AB) / (sin 55° AB + sin 46° AC)) sin 79° / AB

∠AQB = arcsin (((AC AB) / (sin 55° AB + sin 46° AC)) sin 79° / AB)