1. Даны комплексные числа z1=-√2 +i√6; z2=-2-2i; z3=-5i; z4=3+і√3: а) изобразить числа z1, z2, z3, 1/3z4 геометрически; б) представить числа z1,z2, z3, z4 в тригонометрической и показательной формах; в) вычислить корень 6(z1/z4) и (-z2)z3, в алгебраической форме, результаты пред ставить в тригонометрической форме; г) используя формулу Муавра, вычислить (cos10° + iѕіn 10°)27.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Геометрически числа изображаются на комплексной плоскости.

z1: расположен во втором квадранте, соответствует точке с координатами (-√2, √6);z2: расположен в третьем квадранте, соответствует точке с координатами (-2, -2);z3: расположен на мнимой оси, соответствует точке с координатами (0, -5);1/3z4: соответствует точке, равномерно отстоящей от начала координат на треть длины от начала координат до точки z4.

б) Тригонометрическая форма комплексного числа z вида z = r(cosθ + i*sinθ), где r - модуль числа, θ - аргумент числа.

z1: |z1| = √(2^2 + 6) = √10, arg(z1) = arctan(√6/(-√2)) = -π/6, z1 = √10(cos(-π/6) + i*sin(-π/6));z2: |z2| = √((-2)^2 + (-2)^2) = 2√2, arg(z2) = arctan(-2/-2) = π/4, z2 = 2√2(cos(π/4) + i*sin(π/4));z3: |z3| = 5, arg(z3) = -π/2, z3 = 5(cos(-π/2) + i*sin(-π/2));z4: |z4| = √(3^2 + 3) = 2√3, arg(z4) = arctan(√3/3) = π/6, z4 = 2√3(cos(π/6) + i*sin(π/6)).

в)

корень 6(z1/z4): √6(z1/z4) = √6(√10/2√3) = √(6√10/2√3) = √(3√10/√3) = √(3√10/√3) = √(3√10/√3) = √(3√10/√3) = √(3√10)/√3 = √30/√3 = √30/√3 = (3√10)/(√3*√3) = (3√10)/3 = √10;(-z2)z3: -z2 = -2√2(cos(π/4) + isin(π/4)) = -2√2(√2/2 + i√2/2) = -2(1 + i) = -2 - 2i;
(-z2)z3 = (-2 - 2i)5(cos(-π/2) + isin(-π/2)) = -10i(-i) = -10.

г) Используем формулу Муавра: (cosθ + isinθ)^n = cos(nθ) + isin(nθ).
Таким образом, (cos10° + isin10°)^27 = cos(2710°) + isin(2710°) = cos270° + isin270° = 0 - i1 = -i.