Точка M − середина стороны BC треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A и M, касается стороны BC и пересекает стороны AB и AC в точках X и Y соответственно. Известно, что AX=9, BX=3, CY=2. Чему равна длина отрезка AY?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AM=x, тогда BM=MC=x.

Так как AM=MB, то AM=BM=MC=CM=x.

Тогда, так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания, получаем, что треугольник ABX - прямоугольный.

Из этого следует, что AB=√(9^2+3^2)=√90=3√10.

Аналогично, получаем, что AC=√(9^2+2^2)=√85.

Так как AM=BM=CM=MC=x, то MC=XC, а значит, AC=AM+MC, откуда x=√85/2.

Из треугольника АMС следует, что АС=√(9^2+(√85/2)^2)=√(81+85/4)=√(8·(16+17))=√(8·33)=6√33.

Теперь рассмотрим построенные на тех же сторонах треугольники AMX и АMY.

AM/AX=MX/MY, откуда

√85/2/9=x/AY ⇒ 85/4=81·AY^2 ⇒ AY=√(85/324)·4=√(85/81)·2=√(85/81)·4√(21/16)=4√(85/81)∙√21/4=4∙√(85/81∙21/16)=4∙√(5∙7/3∙4)=4∙√(35/3)=4√35/√3=4√105/3.

Итак, ответ: AY=4√105/3.