Окружность касается стороныВД∆ВСД в ее середине А, проходитчерез вершину С и пересекаетстороны ВС и СД в точках К и Lсоответственно ,ВС:СД=2:3.Найти отношениеплощади ∆ВКА к площади∆АLD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус окружности равен r.

Так как окружность проходит через середину стороны ВСД и касается стороны ВД∆ВСД в точке А, то треугольник ∆ВАК - равнобедренный. Значит, ВК = АК = r.

Также из подобия треугольников БВК и СВD следует, что ВК/СВ = КС/СD, то есть r/(r+2r) = 1/2, откуда r = 2

Теперь мы можем найти площади треугольников ∆ВКА и ∆АLК.

S∆ВКА = 1/2 rrsin(∠АВК) = 1/2 2 2 sin(∠АВК) = 2*sin(∠АВК)

S∆АLК = 1/2 rrsin(∠АКЛ) = 1/2 2 2 sin(∠АКЛ) = 2*sin(∠АКЛ)

Отношение площадей треугольников ∆ВКА к ∆АLК равно отношению sin(∠АВК) к sin(∠АКЛ), которое равно sin(∠ВКС) к sin(∠АКЛ).

Так как VK = AK, то ∠ВКС = ∠АКС, а следовательно, sin(∠ВКС) = sin(∠АКС).

Таким образом, отношение площади ∆ВКА к ∆АLК равно 1.