Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 12 см, а боковая сторона-15 см. Найдите периметр трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основания трапеции равны a и b (a > b).

Так как диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то получаем, что высота трапеции h является высотой прямоугольного треугольника, обладающего катетами a и b.

Таким образом, с использованием теоремы Пифагора, получаем, что:
$$
h^2 = a^2 - b^2
$$

Также, так как вершины диагоналей делят треугольник на катеты h и b/2, а гипотенузу a, то:
$$
a = 2 * \sqrt{h^2 + (b/2)^2}
$$

Используя данные из условия задачи, получим, что:
$$
a = 2 \sqrt{12^2 + (15/2)^2} = 2 \sqrt{144 + 56.25} = 2 \sqrt{200.25} = 2 14.14 = 28.28 см
$$

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, сложим все стороны:
$$
P = a + b_1 + a + b_2 = 28.28 + 15 + 28.28 + b = 71.56 + b cм
$$

Из подобия прямоугольных треугольников:
$$
\frac{b}{h} = \frac{b}{12} = \frac{b_1}{a} => b_1 = \frac{12b}{a} = \frac{12b}{28.28} = 0.42b cм
$$

$$
P = 71.56 + b + 0.42b = 71.56 + 1.42b cм
$$

Для нахождения b подставим в уравнение trapezium

$$
0.42b = 15 - b
0.42b + b = 15
b = 15/1.42 = 10.56 cм
$$

Теперь найдем периметр трапеции:
$$
P = 71.56 + 1.42b = 71.56 + 1.42 * 10.56 = 87.51 cм
$$

Ответ: Периметр трапеции равен 87.51 см.