Окружность касается сторон AC и BC равнобедренного треугольника ABC (AB=AC). Её центр O делит медиану BD на отрезки так, что OB в 2,5 раза больше, чем OD. Найти углы треугольника ABC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим OD = x, тогда OB = 2.5x.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то BM — медиана, и BM = CM = AD = CD = AB/2 = AC/2.
Так как окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC, то точка касания лежит на медиане, т.е. DM = x, AM = MC = AB/2 - x = (2.5x - x)/2 = 1.25x,
т.е. AM = = OM = 1.25x.
Так как треугольник AOM прямоугольный, то по формуле косинуса находим:
[cos(A) = AM / AO = 1.25x / R ], где R — радиус окружности.
Из свойств равнобедренного треугольника BCQ и треугольника BMD находим, что угол Q = угол B = угол ACB.
[cos^2(A) = 1 - sin^2(A) = 1 - (OD/R)^2 ], где OD/R = x/R.
Из двух уравнений находим отношение сторон BD/AD:
[cot(B) = BD/AD = 1.25 = 5/4 ]
Так как BD = AD по медиане, то AD = BD = 4x.
Из теоремы Пифагора найдем стороны квадратов:
[8x^2 + (2.5x)^2 = (5x)^2, x = 0.8
]
Отсюда находим катеты (OD/(2 \cdot 0.8)) и (3 \cdot OD/2), и, зная стороны равнобедренного треугольника, найдем углы треугольника ABC.