ABCD - трапеция, BC || AD, CK и DK - биссектрисы её углов C и D. Расстояние от точки К до прямой CD равно 4 см. Найдите высоту трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку CK и DK - биссектрисы углов C и D, то угол KCD = угол KDC. Обозначим этот угол через x.

Так как CD - параллельны, то угол DCK = угол A.

Из угловой суммы внутренних углов трапеции ABCD получаем:
x + 90 + 90 + A = 180,
x + A = 0.

Так как DK - биссектриса угла D, то углы ADC и DCK равны, следовательно, угол A = 180 - A - x. Подставляем это в наше уравнение:
180 - A - x + x = 0,
180 - A = 0,
A = 180.

Так как угол DCK = A, то треугольник DCK есть прямоугольный треугольник со сторонами КС = КD = 4 см, DC = x.
Значит, по теореме Пифагора: KC^2 + KD^2 = DC^2,
4^2 + 4^2 = DC^2,
16 + 16 = DC^2,
32 = DC^2,
DC = √32 = 4√2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CKD:
CK = 4 см, KD = 4 см, по теореме Пифагора получаем:
h = √(CK^2 - KD^2) = √(4√2)^2 - 4^2) = √(16*2 - 16) = √(32 - 16) = √16 = 4.

Таким образом, высота трапеции равна 4 см.