Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из диагоналей равна 12 см, а средняя линия трапеции - 10 см. Найти площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь трапеции вычисляется по формуле: ( S = \frac{a + b}{2} \cdot h ), где (a) и (b) - основания трапеции, а (h) - высота трапеции.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна полусумме длин диагоналей: ( c = \frac{d_1 + d_2}{2} ).

Дано, что средняя линия ( c = 10 ) см и одна из диагоналей ( d_1 = 12 ) см. Найдем длину второй диагонали, используя формулу для средней линии трапеции:
( c = \frac{d_1 + d_2}{2} ),
( 10 = \frac{12 + d_2}{2} ),
( 20 = 12 + d_2 ),
( d_2 = 20 - 12 = 8 ) см.

Теперь найдем основания трапеции, используя теорему Пифагора:
( a = \sqrt{d_1^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} ),
( a = \sqrt{12^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} ),
( a = \sqrt{144 - 25} ),
( a = \sqrt{119} ) см.

( b = \sqrt{d_2^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} ),
( b = \sqrt{8^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} ),
( b = \sqrt{64 - 25} ),
( b = \sqrt{39} ) см.

Теперь можно найти площадь трапеции:
( S = \frac{a + b}{2} \cdot h ),
( S = \frac{\sqrt{119} + \sqrt{39}}{2} \cdot h ),
( S = \frac{\sqrt{119} + \sqrt{39}}{2} \cdot 10 ) (высота равна средней линии),
( S = \frac{\sqrt{119} + \sqrt{39}}{2} \cdot 10 \approx 101.54 ) см².

Ответ: площадь трапеции равна примерно 101.54 см².