В треугольнике АВС Н - точка пересечения высот. Р- радиус описанной окружности. СН=Р . Найти угол АСВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку СН=Р, то треугольник СНР равнобедренный (поскольку он имеет две равные стороны), откуда следует, что ∠СНР = ∠СРН.

Также, так как ∠СНА = 90° (высота - это перпендикуляр к основанию), то треугольник СНА является прямоугольным.

Теперь рассмотрим треугольник САВ. Так как СН - это высота, то она делит основание середине, откуда AN=NB. Следовательно, треугольник САН также равнобедренный и ∠САН = ∠ANС.

Из этих двух утверждений можно заключить, что ∠САН = ∠СНР.

Следовательно, у нас есть ∠САН = ∠СНР (из вышеприведенных утверждений), а также ∠СНР = ∠СРН. $\angle SAN = \angle SRN.$

Далее, рассмотрим треугольник СВА. Рассмотрим угол СВА. Так как ∠САН = ∠СНР, а НП = НР, то угол СНР - это угол С, равный ∠СНР. Далее, скажем ∠СНР = ∠СРН, то мы имеем ∠СВА = ∠НРС. Так как \angle NSR = \angle CNS, то SBNR - циклический четырехугольник, откуда следует, что \angle SBN = \angle SRN. Таким образом, $ \angle SBN = \angle SRN.$

Из этого можно заключить, что у нас есть:
∠SAN = ∠SRN
∠SBN = ∠SRN

Из первого равенства мы можем заключить, что SA=SN (это равенство говорит нам, что угол между ними равен), а из второго равенства мы можем заключить, что SN=SB. Таким образом, SA=SN=SB.

Отсюда можно заключить, что угол между лучами SA и SB равен 120 градусам. Итак, угол ASB равен 120 градусам. Получается, что угол АСВ равен половине этого значения, то есть 60 градусов.

Итак, искомый угол равен 60 градусов.