Основание пирамиды есть прямоугольный треугольник. Боковые ребра пирамиды равны, а боковые грани, проходящие через катеты, составляют с плоскостью основания 30 и 60 градусов. Найти объем описанного около пирамиды конуса, если высота пирамиды равна h

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Первым шагом найдем высоту ( h' ) боковой грани, проходящей через катет треугольника основания. Так как задача симметрична, можно выделить правильный треугольник, который образуется высотой и проекцией боковой грани на основание (которая является медианой треугольника основания).
Таким образом, ( h' = h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ).

Обозначим через ( a ) катет прямоугольного треугольника основания. По условию, боковые грани, проходящие через катеты, образуют угол 30 и 60 градусов с плоскостью основания. Значит, сторона треугольника основания равна ( a = \frac{h}{\tan 30^{\circ}} = \frac{h}{\sqrt{3}/3} = \frac{3h}{\sqrt{3}} ).

Теперь можем найти площадь боковой грани: ( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} a \cdot h' = \frac{3h}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{h\sqrt{3}}{2} = \frac{3h^2}{4} ).

Итак, объем конуса, описанного около пирамиды равен:
[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3h}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3h\sqrt{3}}{2} = \frac{3h^2\sqrt{3}}{2}. ]