Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. АН высота этого треугольника. АВ=15,АС=16, 5АН=6АО. Найдите площадь треугольника ОАС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что 5АН=6АО, следовательно, АН=6АО/5. Так как АН - это высота треугольника, то можем записать, что площадь треугольника АВС равна (1/2)1516=120.

Используя формулу для площади треугольника через высоту, получаем, что 120=0.5ОА16, откуда ОА=15.

Теперь можем посчитать расстояние между центром окружности и одной из вершин треугольника. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ОАВ:

ОА^2=ОВ^2+АВ^2-2ОВАВ*cos(∠ОВА)

15^2=15^2+15^2-21515*cos(∠ОВА)

225=450-450*cos(∠ОВА)

cos(∠ОВА)=-0.5

∠ОВА=120°

Так как треугольник является прямоугольным, то ∠ОАВ=90°

Из свойств описанных окружностей, ОА=ОС

Значит, треугольник ОАС является равнобедренным со сторонами ОА, ОС и АС длиной 16, при этом один из углов равен 120°.

Площадь равнобедренного треугольника площади - это ООС/2 sin(Угол между основанием треугольника и биссектрисой).

Отсюда, S=(1516/2)sin(120°)

S=120sqrt(3)/2=60sqrt(3)