Высота равнобедренного треугольника опущенного на его основу равна 20 см, а высота, опущенная на боковую сторону - 24 см. Найдите периметр треугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание треугольника равно a см, тогда по условию задачи высота, опущенная на основание, равна 20 см, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 24 см.

По формуле нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и высоту, получим:

S = (1/2)ah1,
S = (1/2)a20,
S = 10a.

Также по формуле нахождения площади равнобедренного треугольника через сторону и высоту, получим:

S = (ab)/2,
S = (a2h2)/2,
S = ah2,
ah2 = 24a,
h2 = 24.

Так как высота, опущенная на сторону, равна h2, а треугольник равнобедренный, то она равна радиусу вписанной окружности. Радиус вписанной окружности также равен 24 см.

Из равенства площадей получаем: 10a = 24a, откуда a = 10/24 = 5/12.

Теперь находим боковые стороны треугольника:

b = 2sqrt(h2^2 - (a/2)^2),
b = 2sqrt(24^2 - (5/12)^2),
b = 2sqrt(576 - 25/144),
b = 2sqrt(4144/144),
b = 22sqrt(1036)/12 = 4sqrt(1036)/12.

Значит периметр треугольника равен:

P = a + b + b,
P = 5/12 + 4sqrt(1036)/12 + 4sqrt(1036)/12,
P = 5/12 + 8sqrt(1036)/12.
P = (5 + 8sqrt(1036))/12.

Итак, периметр равнобедренного треугольника составляет (5 + 8sqrt(1036))/12 см.