Прежде чем рассчитать радиус вписанного шара, определим радиус окружности, вписанной в треугольник одной из граней тетраэдра.
Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле: $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$,
где $S_{\triangle}$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.
Для правильного тетраэдра с ребром 13 радиус вписанной окружности будет равен радиусу вписанного шара.
Так как правильный тетраэдр состоит из 4 правильных треугольников, а площадь одного правильного треугольника можно найти по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$,
Прежде чем рассчитать радиус вписанного шара, определим радиус окружности, вписанной в треугольник одной из граней тетраэдра.
Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле:
$r = \frac{S_{\triangle}}{p}$,
где $S_{\triangle}$ - площадь треугольника, $p$ - полупериметр треугольника.
Для правильного тетраэдра с ребром 13 радиус вписанной окружности будет равен радиусу вписанного шара.
Так как правильный тетраэдр состоит из 4 правильных треугольников, а площадь одного правильного треугольника можно найти по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$,
где $a$ - длина стороны трегольника.
Полупериметр треугольника равен $p = \frac{3a}{2}$.
Таким образом, радиус вписанного шара в правильном тетраэдре с ребром 13 равен:
$r = \frac{\frac{(13)^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3 \cdot 13}{2}} = \frac{219 \sqrt{3}}{78} \approx 3.496$.
Итак, радиус вписанного шара в правильном тетраэдре с ребром 13 равен примерно 3.496.