Продолжения двух противоположных сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются под углом альфа, продолжения двух других противоположных сторон пересекаются под тем же углом. Докажите, что два угла в четырехугольнике равны, и найдите разность двух других его углов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим углы четырехугольника ABCD через A, B, C, D (угол A находится напротив стороны AB, угол B находится напротив стороны BC и так далее).

Поскольку продолжения сторон AB и CD пересекаются под углом альфа, то угол ADC равен 180° - α (сумма углов при основании). Аналогично, угол BCD равен 180° - α.

Так как углы противоположные в четырехугольнике, то AD || BC (по свойству четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны). Таким образом, угол D равен углу B (параллельные прямые, образующие пересечение).

Из угловой суммы в треугольнике получаем, что угол B равен 180° - углу D (AB || DC). То есть угол D равен углу B, таким образом углы A и C тоже равны.

Таким образом, углы A и C равны, а разность углов B и D равна 180° - α - (180° - α) = 0.

Итак, углы A и C равны, а углы B и D тоже равны, их разность равна 0.