Из точки T, лежащей вне окружности ω, проведены две секущие l, m и две касательные a, b.
Пусть l ∩ ω = {L₁; L₂}, m ∩ ω = {M₁; M₂}, причем TL₁ < TL₂ и TM₁ < TM₂;
A = a ∩ ω;
B = b ∩ ω;
C = L₁M₂ ∩ L₂M₁.
Докажите, что A, B, C лежат на одной прямой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что по свойству касательных угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен прямому углу.

Отсюда следует, что угол TAL₁ равен прямому углу, так как AL₁ - касательная. Аналогично угол TBM₁ равен прямому углу.

Также заметим, что угол TAL₁ равен углу M₂L₁T (так как TM₂L₁ является ни противоположным углом касательной к одной окружности), а также углу L₁M₂T (по свойству центрального угла).

Из этого следует, что углы TAL₁ и TBM₁ равны. Таким образом, точки A и B лежат на одной прямой с вершиной С.

Таким образом, доказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой.