В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки K и M – середины рёбер AB и BC соответственно. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью (KMC1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы построить сечение параллелепипеда плоскостью (KMC1), нужно найти точку пересечения этой плоскости с рёбрами AD и CD.

Найдем точку пересечения с ребром AD.
Поскольку точка K - середина ребра AB, то вектор AK = 1/2 AB.
Точка C1 - середина ребра AD, значит AC1 = 1/2 AD.
Тогда вектор KM = MC1 + CK,
MC1 = 1/2 (CB1 + C1K) = 1/2 (CB1 + KC),
CK = AC1 + AK = 1/2 AD + 1/2 AB = 1/2 (AD + AB) = 1/2 AC
Таким образом, KM = 1/2 (CB1 + KC) + 1/2 AC = 1/4 (CB1 + 2KC + 2AC) = 1/4 (CB1 + 2MC) = 1/4 CB1 + 1/2 MC
Точка M - середина ребра BC, значит MC = 1/2 BC.
Тогда KM = 1/4 CB1 + 1/2 1/2 BC = 1/4 CB1 + 1/4 BC = 1/4 (CB1 + BC).
Аналогично, KM = 1/4 (CB1 + BC) = 1/4 * CD.

Найдем точку пересечения с ребром CD.
Поскольку точка M - середина ребра BC, то вектор MC = 1/2 BC.
Точка K - середина ребра AD, значит AK = 1/2 AD.
Тогда вектор MK = KM - AK = 1/4 CD - 1/2 AD = 1/4 (CD - 2AD) = 1/4 (CD - DA).
Таким образом, точка пересечения плоскости с ребром CD это середина ребра DD1 (MK = 1/2 * DD1).

Итак, сечение параллелепипеда плоскостью (KMC1) проходит через середины рёбер CD и DD1.