Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на четыре треугольника. Докажите что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим четыре треугольника, образованные диагоналями четырёхугольника, как ABC и ADC, где AC - одна из диагоналей, и ABD и BCD, где BD - другая диагональ.

Пусть S1 - площадь треугольника ABC, S2 - площадь треугольника ADC, S3 - площадь треугольника ABD, S4 - площадь треугольника BCD.

Так как диагонали делятся в центре, то S1 + S2 = S3 + S4 (площади треугольников, имеющих общую вершину).

Также, из теоремы о площади треугольника через стороны AB и BC (S = 1/2 AB BC *sin(угол между ними)), мы можем выразить площади S1, S2, S3 и S4 через длины сторон четырёхугольника и синус угла между диагоналями. Для удобства будем обозначать длины диагоналей как d1 и d2, угол между ними как α, а стороны четырёхугольника как a, b, c и d.

Тогда:
S1 = 1/2 AC BD sin(α)
S2 = 1/2 AC BD sin(α)
S3 = 1/2 AC BD sin(α)
S4 = 1/2 AC BD sin(α)

Таким образом, S1S2 = S3S4 = 1/4 AC BD sin(α) AC BD sin(α) = 1/4 AC^2 BD^2 sin^2(α) = 1/4 (S+S1+S2)^2 = 1/4 (S+S3+S4)^2 = S3S4

Таким образом, мы доказали, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников.