В окружность радиуса √3 вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, в который также вписана окружность. Найдите её радиус.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: окр(О,R); ABC - равносторонний треугольник, вписанный в окр.; R=корень(3)

BH - высота, BHD - равносторонний треугольник; окр(K,KL) - вписанная в треуг. BHD.

Найти: KL

Решение:

LK = 1/3 * LD по свойству равностороннего треугольника. LD = HD*sin60=BH*sin60

BH=3*OH по тому же свойству.

Треугольник АОС равнобедренный, так как биссектрисы АО и ОС делят равные углы по 60 град пополам.

OH = 1/2*OC (против угла 30 град в прямоуг. треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы). А гипотенуза в треугольнике HOC - это радиус опис. окружности R. Следовательно, ОН=корень(3)/2. Тогда ВН = 3*ОН = 3*корень(3)/2.

LD = BH*sin60 = 3*корень(3)/2*корень(3)/2 = 9/4. Тогда LK = 9/4/3 = 3/4 = 0,75

Ответ: 0,75