Теорема чевы и менелая
в треугольнике abc точка m лежит на стороне ac и am:mc = 3:2 точка k лежит на стороне BC и BK:KC=1:3 отрезки ak и BM пересекаются в точке O найти BO:OM и AO:OK
ответ 5:9 6:1
Требуется решение, желательно рисунок

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нарисуем треугольник ABC и отметим точки M и K:

B C

Поскольку AM:MC=3:2, разделим сторону AC на 5 равных отрезков, точка M будет лежать на 3-ем отрезке. Также сделаем то же самое с отрезком BC, разделив его на 4 равных части и отметив точку K на 1-м отрезке.

Теперь продлим отрезок AM до пересечения с BC в точке O:

O / \
/_____\
B C

По теореме Чевы для треугольника ABC и точки M на стороне AC получаем:
AM/MC CB/BA AO/OO = 1

Известно, что AM/MC = 3/2 и CB/BA = 1/3, поэтому AO/OO = 2/3. Отсюда мы можем сделать вывод, что отрезок AO делит отрезок MO в отношении 2:3.

Теперь рассмотрим треугольник ABC и точку K на стороне BC. Продлим отрезок BM до пересечения с AC в точке N:

O / \
M /\
B N
\ K
\\
C

Используя теорему Менелая для треугольника ABC и точки K на стороне BC, получаем:
BK/KC CN/NA AM/MO = 1

Известно, что BK/KC = 1/3, CN/NA = 1/3 и AM/MO = 3/2, поэтому отсюда следует, что AN делит отрезок AO в отношении 1:3.

Таким образом, мы получаем, что отношение BO:OM = 5:9 и отношение AO:OK = 6:1.