В прямоугольном треугольнике радиус вписанного круга равен r, острый угол альфа. Найти площадь треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

S = r * p,

где r - радиус вписанного круга, p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника равен:

p = a + b + c / 2,

где a, b, c - стороны треугольника.

Так как у нас прямоугольный треугольник, то одна из сторон равна радиусу вписанного круга r, а остальные стороны - это гипотенуза и катеты треугольника. Поэтому мы можем записать:

p = r + x + y / 2,

где x, y - оставшиеся две стороны треугольника.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

x^2 + y^2 = (r + x)^2.

Раскрываем скобки:

x^2 + y^2 = r^2 + 2rx + x^2.

Отсюда получаем:

y = r + 2x.

Подставляем это в формулу для полупериметра:

p = r + x + r + 2x / 2 = 2r + 3x / 2.

Найдем x:

r^2 = x^2 + (2r + x)^2,

r^2 = x^2 + 4r^2 + 4rx + x^2,

r^2 + 4r^2 + 4rx = 0,

x = r / 2.

Теперь можем найти площадь треугольника:

S = r p = r (2r + 3x / 2) = r (2r + 3r / 2) = r (4r + 3r) / 2 = 7r^2 / 2.

Итак, площадь треугольника равна 7r^2 / 2.