В треугольнике АВС АВ= 8 см, ВС=12 см, АС=10 см. Найдите медиану,
проведенную к стороне АС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем полупериметр треугольника ABC:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (8 + 12 + 10) / 2 = 15

Теперь вычислим площадь треугольника ABC по формуле Герона:

S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)) = √(15 7 3 * 5) = √1575 = 39.67

Зная площадь треугольника ABC, можем найти медиану, проведенную к стороне AC:

Медиана проведенная к стороне AC делит треугольник на два треугольника равной площади. Таким образом, S(ABM) = S(MC).

Получаем следующее:

S(ABM) = 1/2 AB BM * sin(angle BAM)

S(MC) = 1/2 MC AC * sin(angle ACM)

S(ABM) = S(MC) = 39.67 / 2 = 19.835

Таким образом, S(ABM) = 1/2 8 BM * sin(BAM) = 19.835

8BM * sin(BAM) = 39.67

BM * sin(BAM) = 4.95875

Поскольку BM = MC, то sin(BAM) = sin(ACM), т.е. углы BAM и ACM смежные, и равны между собой.

Таким образом, sin(∠BAM) = sin(∠ACM) = BM / AM, где BM - медиана проведенная к стороне АС, AM - медиана проведенная к стороне ВС.

Известно, что AM = 1/2 * √(2(AC^2 + BC^2) - AB^2) (медиана проведенная к стороне ВС). Подставим все данные:

AC^2 + BC^2 = 10^2 + 12^2 = 100 + 144 = 244

2 * 244 = 488

√488 = 22.08

AM = 1/2 * 22.08 = 11.04

Sin(∠ACM) = BM / 11.04 = 4.95875

Sin(∠ACM) = 4.95875 / 11.04

Sin(∠ACM) = 0.4495

По таблицам найдем, при каком угле синус равен 0.4495:

sin(26) = 0.438

sin(27) = 0.454

Таким образом, угол ∠ACM примерно равен 27 градусов.

Теперь найдем медиану BM, подставив в формулу медианы проведенной к стороне ВС:

BM = 11.04 * sin(27) ≈ 5.16

Итак, медиана, проведенная к стороне АС, равна приблизительно 5.16 см.