В треугольнике abc угол а равен 40 градусов,угол b равен 20 градусов ,а ab-bc=4. найдите длину биссектрисы угла c

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем третий угол треугольника c:

c = 180 - a - b
c = 180 - 40 - 20
c = 120 градусов

Из условия ab - bc = 4, получаем:

аб = бс + 4

Так как биссектриса разбивает треугольник на два подобных друг другу треугольника, найдем отношение, равное

(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{CB}})

Подставим длины сторон в найденные отношения:

(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{CB}})

(\frac{{AC + 4}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{CB}})

(AC = 2 \cdot BC)

Так как с = 120 градусов, равенство (AC = 2 \cdot BC) превращается в равенство

(\frac{{AB}}{{sin(20)}} = \frac{{BC}}{{sin(40)}} = \frac{{AC}}{{sin(120)}},)

из которого можно выразить сторону АС и это соотношение также даст нам длину биссектрисы.

Для удобства заметим, что (120^o = 60^o), тогда:

(\frac{{AC + 4}}{{AC}} = sin(40))

(AC + 4 = AC \cdot sin(40))

(4 = AC(\sin(40) - 1))

(AC = \frac{4}{\sin(40) - 1})

Теперь найдем длину биссектрисы. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

(AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(40))

[AB^2 = \left(\frac{4}{\sin(40) - 1}\right)^2 + BC^2 - 2 \cdot \frac{4}{\sin(40) - 1} \cdot BC \cdot \cos(40)]

Так как у нас (AC = 2 \cdot BC), подставляем (AC = 2 \cdot BC) в уравнение и решаем его.

[AB = \sqrt{\left(\frac{4}{\sin(40) - 1}\right)^2 + \left(\frac{4}{\sin(40) - 1}\right)^2 - 2 \cdot \frac{4}{\sin(40) - 1} \cdot \frac{2}{\sin(40) - 1} \cdot \cos(40)}]

[AB = \sqrt{\left(\frac{4}{\sin(40) - 1}\right)^2 + \left(\frac{4}{\sin(40) - 1}\right)^2 - 8 \cdot \frac{1}{\sin(40) - 1 \cdot \cos(40)}}]

[AB = \sqrt{16\left(\frac{1}{\sin(40) - 1}\right)^2 - 8 \cdot \frac{1}{\sin(40) - 1 \cdot \cos(40)}}]

Вычисляем корень и получаем длину биссектрисы угла C.