Выпуклый четырехугольник ABCD таков, что угол BAC = углу BDA и угол BAD = угол ADC=60 градусов. Найдите длину AD, если известно, что AB=14, CD=6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через O точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.

Так как угол BAC = углу BDA, то треугольники ABO и ADO равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, стороны AO и BO равны по длине, а значит, треугольник ABO является равнобедренным. Так как угол BAD = углу ADC = 60 градусов, то угол BAC = 120 градусов.

Теперь заметим, что углы AOC и BOC равны по величине, так как сумма углов треугольника ABC равна 180 градусов. Следовательно, треугольник AOC равнобедренный, и AO = CO.

Так как угол BAC = 120 градусов, то угол BOC = 120 градусов тоже. Значит, треугольник BOC также равнобедренный, и можно заметить, что напротив угла AOC в нем стоит отрезок AD.

Итак, треугольник BOC является правильным треугольником со стороной 14 и углом 120 градусов. Поэтому DO = 14/2 = 7. Так как CO = DO = 7, то AC = AO + CO = 7 + 7 = 14.

Таким образом, AD = AC = 14.