Докажите что если отрезки соединяющие середины противоположных сторон в выпуклом четырехугольнике равны, то диагонали четырехугольника перпендикулярны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABCD - выпуклый четырехугольник, такой что |AB| = |CD| и |BC| = |AD|, где |AB| обозначает длину отрезка AB.

Обозначим середину стороны AB точкой M, а середину стороны ВС - точкой N. Так как |AB| = |CD| и |BC| = |AD|, то AM = MD и CN = ND.

Рассмотрим треугольники MND и MNC. У них равны две стороны MN = NC и ND = MC, а также угол между ними. Из теоремы о равенстве треугольников следует, что треугольники MND и MNC равны.

Следовательно, у них равны и противоположные углы. То есть у четырехугольника ABCD противоположные грани опираются на равные отрезки MD и NC, следовательно, отрезки AC и BD тоже равны.

Так как у четырехугольника ABCD противоположные стороны равны, он является параллелограммом. Тогда диагонали параллелограмма перпендикулярны, то есть AC ⊥ BD.

Таким образом, доказано, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то его диагонали перпендикулярны.