Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности с радиусом R и центром O. Пусть основания трапеции равны a и b, а высота h.

Так как трапеция описана около окружности, то ее диагонали являются диаметрами этой окружности. Из свойств прямоугольной трапеции следует, что вертикальная диагональ является высотой трапеции.

Рассмотрим полутрапецию AOB, где A и B - середины оснований трапеции. Так как диагональ AO является радиусом окружности, то OA = OB = R.

По теореме Пифагора для треугольника AOB: AB^2 = 2R^2 - h^2 (1)

Так как BC || AD, то треугольники BCD и ADB подобны, а значит пропорциональны. Таким образом:
b/(b-a) = a/h => bh = a(b-a)
h = a*b/(b-a)

Подставляем h в формулу (1) и получаем:
AB^2 = 2R^2 - (ab/(b-a))^2
AB^2 = (2R(b-a))^2/(b-a)^2 - a^2b^2/(b-a)^2
AB^2 = (4R^2(b-a)^2 - a^2*b^2)/(b-a)^2
AB^2 = 4R^2 - a^2

Так как AB является диагональю трапеции, то ее длина равна корню из суммы квадратов оснований:
AB = √(a^2 + b^2)

Из полученных выражений:
a^2 + b^2 = 4R^2 - a^2
2a^2 + b^2 = 4R^2
2a^2 = 4R^2 - b^2
a^2 = 2R^2 - b^2

Произведение оснований трапеции равно:
ab = √(2R^2 - b^2) b = b*√(2R^2 - b^2)

Итак, площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее оснований (a*b).