2. Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, который делит ее на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Перпендикуляр образует с меньшей стороной прямоугольника угол в 30o. Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника и сумму его диагоналей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника за х, а длину большей стороны за у.

Так как перпендикуляр делит диагональ на два отрезка, то меньший отрезок равен 2 см, а больший отрезок равен х.

По теореме косинусов в прямоугольном треугольнике ABC, где А - вершина прямоугольника, B - точка пересечения диагоналей, C - середина диагонали, имеем:

cos30° = см/х

cos30° = (√3)/2

(√3)/2 = 2/х

Отсюда находим х:

22 = x√3

4 = х√3

х = 4/√3 = 4√3/3

Длина меньшей стороны прямоугольника равна 4√3/3 см.

Сумма длин диагоналей прямоугольника равна:

√(х^2 + у^2) + √(х^2 + у^2) = 2√(х^2 + y^2)

√((4√3/3)^2 + y^2) + √((3√3)^2 + y^2) = 2√((4√3/3)^2 + y^2)

√(48/3 + y^2) + √(27 + y^2) = 2√(16/3 + y^2)

√(16 + y^2) + √(27 + y^2) = 2√(16 + y^2)

Упростим уравнение:

4 + 2√(16 + y^2)(27 + y^2) = 4(16 + y^2)

Упростим дальше или с помощью компьютера, или вручную, используя формулы квадратов сумм и разностей.

После объединения подобных членов и упрощений, мы найдем значение у, которое подставим в формулу для нахождения общего значения диагоналей.