Точка М равноудалена от вершин равностороннего треугольника АБС, отрезок МН-перпендикуляр, проведённый из точки М к плоскости АБС. Найдите МА, если АБ=6, МН=2.
Для начала определим радиус описанной окружности вокруг треугольника АБС. Радиус описанной окружности равен стороне треугольника, разделенной на √3. То есть RA = 6 / √3 = 2√3.
Так как точка М равноудалена от вершин треугольника, то она лежит на высоте, проходящей через центр описанной окружности. По условию, отрезок МН является перпендикуляром к стороне АВ, следовательно, треугольник АМН является прямоугольным с прямым углом в вершине М.
Из равенства сторон треугольника АМН найдем сторону МA. Если обозначить МА = х, то получим следующие уравнения:
Для начала определим радиус описанной окружности вокруг треугольника АБС. Радиус описанной окружности равен стороне треугольника, разделенной на √3. То есть RA = 6 / √3 = 2√3.
Так как точка М равноудалена от вершин треугольника, то она лежит на высоте, проходящей через центр описанной окружности. По условию, отрезок МН является перпендикуляром к стороне АВ, следовательно, треугольник АМН является прямоугольным с прямым углом в вершине М.
Из равенства сторон треугольника АМН найдем сторону МA. Если обозначить МА = х, то получим следующие уравнения:
х^2 + 2^2 = (2√3)^2
х^2 + 4 = 12
х^2 = 8
х = √8 = 2√2
Ответ: МА = 2√2.