Около правильного треугольника со стороной 12 описана окружность, около этой окружности описан правильный шестиугольник. на каждой стороне шестиугольника,как на диаметре,построен полукруг с внешней стороны от шестиугольника.вычислите площадь получившейся розетки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиус вписанной окружности в правильный треугольник со стороной 12. Так как вписаная окружность касается сторон треугольника, то биссектриса угла треугольника будет радиусом окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой угла, радиусом окружности и стороной треугольника, он будет равнобедренным. Найдем высоту этого треугольника с помощью теоремы Пифагора:
( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 ),
( h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} ),
( h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ).

Таким образом, радиус вписанной окружности равен ( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ).

Площадь шестиугольника можно найти по формуле: ( S_{\text{шестиугольника}} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 12^2}{2} = 216\sqrt{3} ).

Площадь розетки состоит из площади шестиугольника и шести полукругов. Площадь каждого полукруга равна половине площади круга с радиусом 12:
( S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 12^2 = 72\pi ).

Итак, площадь розетки равна:
( S{\text{розетки}} = S{\text{шестиугольника}} + 6 \cdot S_{\text{полукруга}} = 216\sqrt{3} + 6\cdot72\pi = 216\sqrt{3} + 432\pi ).