В равнобоковой трапеции ABSD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Известно, что BO=7/8,DO=25/8 и угол ABD=90. Найти стороны трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB = a, AD = b, BC = c. Так как трапеция равнобоковая, то AB = BC = a, AD = b.

Так как угол ABD = 90, то треугольник ABD прямоугольный. Поэтому, по теореме Пифагора, AB^2 + BD^2 = AD^2.

Из равнобедренности трапеции ABSD следует, что DO = DS = b, а также DAB = DBS = ABD = 90. Так как BO перпендикулярен DS, BD - диаметр, проходящий через вершину прямого угла треугольника ADS (перпендикуляр к гипотенузе), то и BO будет диаметром окружности, описанной около треугольника ABD.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD:

AB^2 + BD^2 = AD^2
a^2 + (b + 7/8)^2 = b^2,
a^2 + b^2 + 49/64 + 7b/4 = b^2,
а^2 = 49/64 + 7b/4,
7b/4 = 49/64 + 7b/4,
0 = 49/64,
49 = 64,
7 = 3*sqrt(3).

Таким образом, стороны трапеции равны 3, 3, 7 и 7. Также можно заметить соотношение сторон 3:7 = 3/7 = (sqrt(3)/7):(7/sqrt(3)) = BD:AB = 1/sqrt(3), что также подтверждает правильность ответа.