Периметр равнобедренного треугольника равен 96 см, а основание и высота, проведенная к нему, относятся как 3:2. На медиане, проведенной к основанию, отмечена точка, равноудаленная от основания и боковой стороны.
Найдите это расстояние и длину вписанной в треугольник окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание треугольника равно 3x, а высота, проведенная к нему, равна 2x. Тогда каждое боковое ребро равно 3x, так как треугольник равнобедренный.

Таким образом, периметр треугольника равен 3x + 3x + 2x = 96, откуда x = 12. Значит, основание треугольника равно 36 см, а высота 24 см.

Так как точка на медиане равноудалена от основания и боковой стороны, то данная точка является центром вписанной в треугольник окружности. Расстояние от центра окружности до стороны треугольника рассчитывается по формуле h = 2*S/P, где S - площадь треугольника, P - периметр треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу S = h(a/2), где a - основание треугольника, h - высота. Площадь треугольника равна S = 3624/2 = 432.

Теперь можем найти расстояние от центра окружности до стороны: h = 2*432/96 = 9 см.

Длина вписанной в треугольник окружности рассчитывается по формуле r = S/p, где r - радиус окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника равен p = 96/2 = 48. Теперь находим радиус окружности: r = 432/48 = 9 см.

Итак, расстояние от центра окружности до стороны равно 9 см, а радиус вписанной в треугольник окружности также равен 9 см.