В правильном треугольнике ABC выбрали произвольную точку M и опустили из нее перпендикуляры МА1, МВ1 и МС1 на стороны ВС, АС и АВ соответственно. Докажите, что А1В + В1С + С1А = АВ1 + ВС1 + СА1 (использовать передвижение точки).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного равенства воспользуемся передвижением точки.

Рассмотрим произвольную точку M1 внутри треугольника ABC. Построим точки A2, B2 и C2 - проекции точки M1 на стороны треугольника ABC (A2 - проекция на BC, B2 - проекция на AC, C2 - проекция на AB). Тогда по теореме Фалеса имеем:

MA1 / MA2 = MB1 / MB2 = MC1 / MC2,

то есть точки A1, B1, C1, A2, B2, C2 лежат на одной прямой - высотах треугольника ABC. Следовательно, A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, C1A1 = C2A2.

Теперь возьмем точку M2 симметрично точке M1 относительно центра окружности, вписанной в треугольник ABC. Соединим точки M1 и M2. Тогда M2A1 = M1A1, M2B1 = M1B1, M2C1 = M1C1.

Теперь построим точку M3 как середину отрезка MM2. Тогда с одной стороны имеем M3A1 = 1/2 (M1A1 + M2A1), с другой стороны M3A1 = 1/2 (M1A1 + M1A2) по построению.

Таким образом, получили равенство:

M1A1 + M1B1 + M1C1 = M2A1 + M2B1 + M2C1.

Перенесем это равенство на начальную точку M:

MA1 + MB1 + MC1 = MA2 + MB2 + MC2.

А так как A1B1 = A2B2, B1C1 = B2C2, C1A1 = C2A2, получаем:

A1B1 + B1C1 + C1A1 = A2B2 + B2C2 + C2A2.

Тем самым доказано требуемое равенство.