Треугольник АВС вписан в окружность с центром в тоске О. Известно, что угол АОВ=150градусов, угол А : угол С = 2:5. Найдите градусную меру угла В.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи обратим внимание на угол, образованный хордой AC и дугой АС. Поскольку угол, образованный хордой и дугой, равен полусумме двух вписанных углов, получаем, что угол АСВ = (угол А + угол С)/2 = (2x + 5x)/2 = 7x/2.

Также угол АВО = 180 - угол АОВ = 180 - 150 = 30 градусов.

Из свойства равнобедренных треугольников можно сказать, что угол ВАО = угол ВОА = (180 - угол АВО)/2 = (180 - 30)/2 = 75 градусов.

Таким образом, угол В равен 180 - угол ВАО - угол АСВ = 180 - 75 - 7x/2 = 105 - 7x/2.

Теперь используем теорему косинусов в треугольнике АВС, где угол В есть искомый угол:

cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2ABBC) = (R^2 + R^2 - 2R^2 cos(ACV)) / (2R^2) = (2R^2 - 2R^2 cos(7x/2)) / 2R^2 = 1 - cos(7x/2).

При этом cos(7x/2) = cos(2*(3x/2)) = 1 - 2sin^2(3x/2) = 1 - 2(1 - cos(3x/2)^2) = 2cos^2(3x/2) - 1. Подставляем это в предыдущее уравнение:

cos(B) = 1 - (2cos^2(3x/2) - 1) = 2 - 2cos^2(3x/2) = 2(1 - cos^2(3x/2)) = 2sin^2(3x/2).

Таким образом, sin(B) = sqrt(2) sin(3x/2) = sqrt(2) sin(23x/4) = sqrt(2) sin(3x).

Угол B = arcsin(sqrt(2) sin(3x)) = arcsin(sqrt(2) sin(3(105 - 7x/2))) = arcsin(sqrt(2) sin(315 - 21x/2)).

Теперь подставляем угол B = arcsin(sqrt(2) * sin(315 - 21x/2)) в калькулятор и получаем результат.