Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b. Угол при основании равен α. Найти радиус вписанной в треугольник окружности. Указание: решить задачу можно, используя формулы для площади треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть r - радиус вписанной окружности, а h - высота треугольника, проведенная из вершины с углом α.

Так как треугольник равнобедренный, то h - высота также является медианой и биссектрисой треугольника.

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
S = 1/2 b h
S = p * r
где p - полупериметр треугольника, равный
p = (b + 2r) / 2
и S - площадь треугольника.

Приравниваем выражения для S:
1/2 b h = p r
1/2 b h = ((b + 2r) / 2) r
b h = b r + 2r^2
h = r + 2r
h = 3r

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный биссектрисой, радиусом и отрезком h:
r^2 = (b/2)^2 + h^2
r^2 = (b/2)^2 + (3r)^2
r^2 = b^2 / 4 + 9r^2
9r^2 - r^2 = b^2 / 4
8r^2 = b^2 / 4
32r^2 = b^2
4r = b

Таким образом, радиус вписанной в треугольник окружности равен b/4.