В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб. Найдите ребро куба, если высота пирамиды 6квадратный корень из 2 дм, сторона основания пирамиды 4 квадратный корень из 2 дм
Так как вписанный куб касается всех граней пирамиды, то его ребро равно половине диагонали основания пирамиды.
Диагональ основания пирамиды равна стороне основания пирамиды (4√2) умножить на корень из 2 (две диагонали в квадрате равны сумме квадратов сторон квадрата), то есть 4 √2 √2 = 8 см.
Аналогично, с помощью теоремы Пифагора, найдем высоту пирамиды, закрепленную в центре основания к трем верхним вершинам квадрата:
(8\sqrt2)^2 = (4\sqrt2)^2 + h^2
64 * 2 = 64 + h^2
128 = 64 + h^2
64 = h^2
h = 8.
Сначала найдем высоту боковой грани пирамиды: √(h^2 + (\frac{сторона_{основания}}{2})^2) = √(8^2 + 2^2) = 2 \sqrt{17} дм.
Мы нашли два треугольника. Теперь найдем диагональ:
2 \sqrt{17}^2 + 8^2 = d^2
d^2 = 68 + 64 = 132 = 2 \sqrt{33}
d = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} дм.
Значит, ребро куба равно половина диагонали основания, то есть:
Пусть а - ребро куба.
Так как вписанный куб касается всех граней пирамиды, то его ребро равно половине диагонали основания пирамиды.
Диагональ основания пирамиды равна стороне основания пирамиды (4√2) умножить на корень из 2 (две диагонали в квадрате равны сумме квадратов сторон квадрата), то есть 4 √2 √2 = 8 см.
Аналогично, с помощью теоремы Пифагора, найдем высоту пирамиды, закрепленную в центре основания к трем верхним вершинам квадрата:
(8\sqrt2)^2 = (4\sqrt2)^2 + h^2
64 * 2 = 64 + h^2
128 = 64 + h^2
64 = h^2
h = 8.
Сначала найдем высоту боковой грани пирамиды:
√(h^2 + (\frac{сторона_{основания}}{2})^2) = √(8^2 + 2^2) = 2 \sqrt{17} дм.
Мы нашли два треугольника. Теперь найдем диагональ:
2 \sqrt{17}^2 + 8^2 = d^2
d^2 = 68 + 64 = 132 = 2 \sqrt{33}
d = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} дм.
Значит, ребро куба равно половина диагонали основания, то есть:
a = d/2 = \sqrt{33} дм.