Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. НАЙДИТЕ ОСТРЫЕ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим острый угол треугольника через A, прямой угол через B, а острый угол напротив гипотенузы через C.
Пусть радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной окружности равен R, а стороны треугольника равны a, b и c (гипотенуза).

Известно, что сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна одному из катетов, то есть r + R = b.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр (r = S / p) и равен полупериметру минус гипотенузу, умноженную на 2 (r = p - c).

Аналогично, радиус описанной окружности равен полупериметру минус одна из сторон треугольника, деленной на 2 (R = p - a).

Из уравнения r + R = b получаем:
p - c + p - a = b
2p - a - c = b

Из формулы полупериметра p = (a + b + c) / 2 получаем:
2(a + b + c) - a - c = b
2a + 2b + 2c - a - c = b
a + b + c = b

Итак, острый углы треугольника будут равны a и c.